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Resumos/Matemática A/Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório
PT · Secundário

Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório

Fundamenta-se a probabilidade pela axiomática e pela regra de Laplace, estuda-se a probabilidade condicionada e a independência de acontecimentos, e desenvolve-se o cálculo combinatório (arranjos, permutações e combinações), culminando no triângulo de Pascal e no binómio de Newton. Matéria do 12.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~10 min de leitura·4 competências

T·121212 / 17
Perfil de exame
Aplicar a axiomática das probabilidades e a regra de LaplaceCalcular probabilidades condicionadas e testar a independênciaContar com arranjos, permutações e combinaçõesAplicar o triângulo de Pascal e o binómio de Newton
Operadores:calculacontadeterminajustificadistingueaplica

nível básico

Calcular probabilidades pela regra de Laplace e contar casos com combinações simples.

nível avançado

Aplicar probabilidade condicionada, independência e o binómio de Newton a problemas complexos.

Profundidade

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório
    • 01Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace◐
    • 02Probabilidade condicionada e independência●
    • 03Cálculo combinatório●
    • 04Triângulo de Pascal e binómio de Newton●

4 secções · 8 pontos-chave · 4 fórmulas · 8 erros típicos

§ 01
§ 01

Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace#

~2 min de leitura●●○PadrãoAEAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

Uma experiência aleatória tem resultados que não se conseguem prever com certeza. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral «Ω»; um acontecimento é um subconjunto de «Ω». As operações entre conjuntos traduzem a linguagem dos acontecimentos: a reunião «A ∪ B» é «A ou B», a interseção «A ∩ B» é «A e B», o complementar «Ā» é «não A» (ver Fig. 1).

Dois acontecimentos num diagrama de Venn

AcontecimentosDiagrama de Venn com 2 conjuntos, A, BABsó Asó BA ∩ B
Fig. 1Fig. 1 — Acontecimentos A e B: as regiões «só A», «só B» e a interseção A ∩ B.
Fig. 1 ↓
A probabilidade é uma função «P» que a cada acontecimento associa um número em «[0, 1]», obedecendo à axiomática: «P(Ω) = 1» e, para acontecimentos incompatíveis (disjuntos), a probabilidade da reunião é a soma das probabilidades. Daí decorrem propriedades como «P(Ā) = 1 − P(A)» e a regra da adição «P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)», que desconta a interseção contada duas vezes.
Quando todos os resultados são equiprováveis, aplica-se a regra de Laplace: «P(A) = casos favoráveis / casos possíveis». É o cálculo de probabilidades por contagem, que motiva o cálculo combinatório (secções seguintes): muitas vezes, calcular uma probabilidade reduz-se a contar corretamente os casos favoráveis e os casos possíveis.
A Fig. 1 representa dois acontecimentos num diagrama de Venn, evidenciando as regiões «só A», «só B» e «A ∩ B». É fundamental distinguir acontecimentos incompatíveis (não podem ocorrer em simultâneo, «A ∩ B = ∅») de acontecimentos independentes (a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro) — conceitos diferentes que são frequentemente confundidos.

Regra de Laplace e regra da adição

P(A)=casos favoraˊveiscasos possıˊveis,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) = \dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}, \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A)=casos possıˊveiscasos favoraˊveis​,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

A regra de Laplace vale quando os casos são equiprováveis; a regra da adição desconta a interseção.

Exemplo resolvido

Probabilidade com dois dados

Lançam-se dois dados equilibrados. Calcula a probabilidade de a soma ser 7.

  1. 01Casos possíveis

    Cada dado tem 6 faces: 6 × 6 = 36 resultados equiprováveis.

  2. 02Casos favoráveis

    Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 casos.

  3. 03Regra de Laplace

    P(soma = 7) = 6/36 = 1/6.

Resultado: P(soma = 7) = 1/6 (6 casos favoráveis em 36 possíveis).

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a regra de Laplace e a regra da adição P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
  • Distinguir acontecimentos incompatíveis de independentes.

Erros frequentes

  • Somar P(A) e P(B) esquecendo subtrair P(A ∩ B) quando os acontecimentos não são incompatíveis.
  • Confundir incompatível (A ∩ B = ∅) com independente (P(A ∩ B) = P(A)·P(B)).

§ 01

Revisão ativa

Lançam-se dois dados. Calcula a probabilidade de a soma ser 7 e a de a soma ser 7 ou 11.

Praticar com exercícios relacionados8 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02
§ 02

Probabilidade condicionada e independência#

~3 min de leitura●●●AprofundamentoAEAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

A probabilidade condicionada «P(B | A)» é a probabilidade de «B» sabendo que «A» ocorreu: «P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)» (com «P(A) > 0»). Condicionar «reduz o espaço amostral» a «A». Desta definição sai a regra da multiplicação: «P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A)», que se lê naturalmente num diagrama em árvore (ver Fig. 2), em que cada ramo transporta uma probabilidade e o produto ao longo de um caminho dá a probabilidade da interseção.

Árvore de probabilidades condicionadas

Árvore de probabilidadesDiagrama em árvore, 4 caminhos, Dados: A → S: 0.42; A → F: 0.18; B → S: 0.2; B → F: 0.20.7S0.3F0.5S0.5F0.6A0.4BP = 0.42P = 0.18P = 0.2P = 0.2início
Fig. 2Fig. 2 — Árvore de duas etapas: os produtos ao longo dos caminhos dão P(A ∩ S) = 0,42 e P(B ∩ S) = 0,20.
Fig. 2 ↓
É crucial não confundir «P(B | A)» com «P(A | B)»: são probabilidades de acontecimentos diferentes e, em geral, têm valores diferentes. Confundi-las é a «falácia da taxa base», fonte de muitos erros de raciocínio (em diagnósticos médicos, por exemplo). A árvore ajuda a organizar o cálculo e a evitar esta confusão.
Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro: «P(B | A) = P(B)», o que equivale a «P(A ∩ B) = P(A)·P(B)». Independência é uma relação sobre probabilidades, diferente de incompatibilidade (que é sobre conjuntos). De facto, dois acontecimentos incompatíveis com probabilidade não nula NUNCA são independentes.
A Fig. 2 mostra uma árvore de duas etapas. Multiplicando as probabilidades ao longo de cada caminho obtêm-se as probabilidades dos resultados; somando os caminhos que conduzem a um mesmo acontecimento (regra da probabilidade total) obtém-se a sua probabilidade. A partir daí, a fórmula de Bayes permite «inverter» o condicionamento e calcular «P(A | S)» a partir de «P(S | A)».

Probabilidade condicionada

P(B∣A)=P(A∩B)P(A),P(A∩B)=P(A) P(B∣A)P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, \qquad P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)P(B∣A)=P(A)P(A∩B)​,P(A∩B)=P(A)P(B∣A)

Condicionar reduz o espaço a A; a regra da multiplicação dá a probabilidade da interseção.

Exemplo resolvido

Probabilidade total e inversão (Bayes)

Com P(A) = 0,6, P(B) = 0,4 (B = complementar de A), P(S | A) = 0,7 e P(S | B) = 0,5, calcula P(S) e P(A | S).

  1. 01Probabilidades dos caminhos

    P(A ∩ S) = 0,6·0,7 = 0,42; P(B ∩ S) = 0,4·0,5 = 0,20.

  2. 02Probabilidade total

    P(S) = P(A ∩ S) + P(B ∩ S) = 0,42 + 0,20 = 0,62.

  3. 03Inverter o condicionamento

    P(A | S) = P(A ∩ S)/P(S) = 0,42/0,62 ≈ 0,677.

  4. 04Observação

    Note-se que P(A | S) ≈ 0,68 é diferente de P(S | A) = 0,70 — não se devem confundir.

Resultado: P(S) = 0,62 e P(A | S) ≈ 0,677 (distinto de P(S | A) = 0,70).

Foco no Exame Nacional

  • Calcular probabilidades condicionadas e usar árvores e a regra da probabilidade total.
  • Testar a independência de acontecimentos.

Erros frequentes

  • Confundir P(B | A) com P(A | B).
  • Tratar acontecimentos incompatíveis como independentes.

§ 02

Revisão ativa

Numa árvore, P(A) = 0,6, P(S | A) = 0,7 e P(S | B) = 0,5 (com B = complementar de A). Calcula P(S) e P(A | S).

Praticar com exercícios relacionados8 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03
§ 03

Cálculo combinatório#

~2 min de leitura●●●AprofundamentoAEAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

O cálculo combinatório conta agrupamentos sem os enumerar um a um. A distinção-chave é entre agrupamentos em que a ordem importa (arranjos) e aqueles em que não importa (combinações), e entre agrupamentos com ou sem repetição de elementos (ver Fig. 3). Escolher a ferramenta certa é metade do problema.

Tipos de contagem

Cálculo combinatórioTabela com 4 colunas e 4 linhas, Dados: Tipo · A ordem importa? · Fórmula · Exemplo; Arranjos sem repetição · sim · n! / (n − p)! · pódios de 3 em 8 atletas; Permutações · sim (usa todos) · n! · ordenar 5 livros; Combinações · não · n! / (p!(n − p)!) · comissão de 3 em 10; Arranjos com repetição · sim · n^p · códigos de 4 dígitos (0–9)TipoA ordem importa?FórmulaExemploArranjos semrepetiçãosimn! / (n − p)!pódios de 3 em 8 atletasPermutaçõessim (usa todos)n!ordenar 5 livrosCombinaçõesnãon! / (p!(n − p)!)comissão de 3 em 10Arranjos comrepetiçãosimnpcódigos de 4 dígitos (0–9)
Fig. 3Fig. 3 — Arranjos, permutações e combinações: quando a ordem importa e quando há repetição.
Fig. 3 ↓
Os arranjos sem repetição de «n» elementos «p» a «p» contam sequências ordenadas sem repetir elementos: «ⁿAₚ = n!/(n − p)!». As permutações de «n» elementos são o caso «p = n»: «n!» (todas as ordenações). As combinações de «n» elementos «p» a «p» contam subconjuntos (ordem irrelevante): «ⁿCₚ = n!/(p!(n − p)!)» — dividem os arranjos por «p!», o número de ordenações de cada subconjunto.
A estratégia de resolução: perguntar «a ordem importa?» (se sim, arranjo/permutação; se não, combinação) e «há repetição?». Muitos problemas combinam etapas, aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicar as escolhas de cada etapa). Traduzir corretamente o enunciado nesta linguagem é a competência avaliada — os erros nascem quase sempre de confundir arranjos com combinações.
O cálculo combinatório alimenta a regra de Laplace: contam-se casos favoráveis e possíveis com estas fórmulas. A Fig. 3 resume os quatro tipos com as fórmulas, e um exemplo de cada. Dominar esta tabela e saber quando aplicar cada fórmula é essencial para os problemas de probabilidade por contagem, muito frequentes no Exame.

Arranjos e combinações (sem repetição)

nAp=n!(n−p)!,nCp=n!p! (n−p)!{}^{n}A_{p} = \dfrac{n!}{(n-p)!}, \qquad {}^{n}C_{p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}nAp​=(n−p)!n!​,nCp​=p!(n−p)!n!​

Arranjos contam sequências ordenadas; combinações contam subconjuntos (ordem irrelevante).

Exemplo resolvido

Combinações vs arranjos

De um grupo de 10 pessoas, de quantas formas se escolhe uma comissão de 3 (sem hierarquia)? E se fossem 3 cargos distintos (presidente, secretário, tesoureiro)?

  1. 01Comissão (ordem irrelevante)

    É uma combinação: ¹⁰C₃ = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120.

  2. 02Cargos distintos (ordem importa)

    É um arranjo: ¹⁰A₃ = 10·9·8 = 720.

  3. 03Relação

    Os arranjos (720) são as combinações (120) vezes as 3! = 6 ordenações de cada grupo: 120·6 = 720.

Resultado: Comissão: 120 formas (combinações); cargos distintos: 720 formas (arranjos).

Foco no Exame Nacional

  • Escolher entre arranjos, permutações e combinações consoante a ordem e a repetição.
  • Aplicar o princípio fundamental da contagem a problemas de várias etapas.

Erros frequentes

  • Usar arranjos (ordem importa) quando o problema pede combinações (ordem irrelevante).
  • Esquecer que as combinações dividem os arranjos por p! (as ordenações de cada grupo).

§ 03

Revisão ativa

De um grupo de 10 pessoas, de quantas formas se pode escolher uma comissão de 3 (sem ordem)? E se se distribuíssem 3 cargos distintos?

Praticar com exercícios relacionados8 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

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Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04
§ 04

Triângulo de Pascal e binómio de Newton#

~2 min de leitura●●●AprofundamentoAEAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

As combinações «ⁿCₚ» dispõem-se num arranjo triangular — o triângulo de Pascal (ver Fig. 4) — em que cada linha «n» reúne os números «ⁿC₀, ⁿC₁, …, ⁿCₙ». O triângulo constrói-se sem calcular fatoriais: cada elemento é a soma dos dois imediatamente acima («ⁿCₚ = ⁿ⁻¹Cₚ₋₁ + ⁿ⁻¹Cₚ»), e as linhas começam e terminam em 1. É simétrico: «ⁿCₚ = ⁿCₙ₋ₚ».

Triângulo de Pascal

Triângulo de PascalTabela com 7 colunas e 6 linhas, Dados: n \ k · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5; 0 · 1 · · · · · ; 1 · 1 · 1 · · · · ; 2 · 1 · 2 · 1 · · · ; 3 · 1 · 3 · 3 · 1 · · ; 4 · 1 · 4 · 6 · 4 · 1 · ; 5 · 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1, célula destacada: 6n \ k01234501111212131331414641515101051
Fig. 4Fig. 4 — Triângulo de Pascal (linhas n = 0 a 5): cada número é a soma dos dois acima; são os coeficientes de (a + b)ⁿ.
Fig. 4 ↓
O binómio de Newton dá o desenvolvimento de uma potência de um binómio: «(a + b)ⁿ = Σ ⁿCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ», para «k» de 0 a «n». Os coeficientes do desenvolvimento são exatamente os da linha «n» do triângulo de Pascal — daí a ligação profunda entre contagem (combinações) e álgebra (potências de binómios).
Cada termo do desenvolvimento tem a forma «ⁿCₖ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ» (o termo de ordem «k + 1»). Esta fórmula do termo geral permite obter um termo específico sem desenvolver toda a potência — por exemplo, o termo em «x⁵» ou o termo independente — tarefa frequente no Exame. A soma dos expoentes de «a» e «b» em cada termo é sempre «n».
A Fig. 4 mostra as primeiras linhas do triângulo de Pascal. Estes coeficientes reaparecem noutros contextos (a distribuição binomial, no tema seguinte, usa-os diretamente). O binómio de Newton é assim um ponto de encontro entre combinatória, álgebra e probabilidades — uma das ideias mais elegantes e úteis do 12.º ano.

Binómio de Newton

(a+b)n=∑k=0n(nk)a n−k b k(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k}\, b^{\,k}(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

Os coeficientes são as combinações da linha n do triângulo de Pascal; o termo de ordem k+1 é C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ.

Exemplo resolvido

Desenvolver (x + 2)⁴

Desenvolve (x + 2)⁴ usando o binómio de Newton e indica o coeficiente do termo em x².

  1. 01Coeficientes (linha 4)

    Da linha n = 4 do triângulo de Pascal: 1, 4, 6, 4, 1.

  2. 02Aplicar o binómio

    (x + 2)⁴ = 1·x⁴ + 4·x³·2 + 6·x²·2² + 4·x·2³ + 1·2⁴.

  3. 03Calcular

    = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

  4. 04Termo em x²

    O termo em x² é 6·x²·4 = 24x²; o coeficiente é 24.

Resultado: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16; o coeficiente de x² é 24.

Foco no Exame Nacional

  • Desenvolver (a + b)ⁿ e determinar um termo específico pelo termo geral.
  • Usar as propriedades do triângulo de Pascal (soma de linha, simetria).

Erros frequentes

  • Esquecer os coeficientes binomiais (escrever (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ).
  • Trocar os expoentes de a e de b no termo geral (é aⁿ⁻ᵏ·bᵏ).

§ 04

Revisão ativa

Desenvolve (x + 2)⁴ usando o binómio de Newton e indica o coeficiente do termo em x².

Praticar com exercícios relacionados8 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Versão completa através do nível de profundidade — mesmo lugar, mesmas âncoras

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace◐
    • 02Probabilidade condicionada e independência●
    • 03Cálculo combinatório●
    • 04Triângulo de Pascal e binómio de Newton●

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Dos resumos à prática

Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

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Cálculo diferencial (derivadas, monotonia, otimização)

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