PT · Secundário

Secções de sólidos por planos

A secção de um sólido por um plano é a figura plana que resulta do corte. Estudam-se o método geral de determinação da figura de secção (cortando aresta a aresta ou geratriz a geratriz), o caso vantajoso dos planos projetantes, a verdadeira grandeza da secção por rebatimento e as secções dos sólidos de revolução — em especial as cónicas obtidas no cone.

3 secções~8 min de leitura3 competências

T·101010 / 14

Perfil de exame

Determinar a figura de secção de um sólido por um planoObter a verdadeira grandeza da figura de secçãoReconhecer as secções dos sólidos de revolução (cónicas)

Operadores:determinaseccionaconstróiidentificajustifica

nível básico

Determinar secções por planos projetantes, lendo a secção numa das projeções.

nível avançado

Obter a VG da secção por rebatimento e reconhecer as cónicas no cone.

3 secções6 pontos-chave0 fórmulas6 erros típicos

Secção plana: conceito e método#

~3 min de leituraPadrãoAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

A «secção» de um sólido por um plano (o «plano secante» ou «plano de corte») é a figura plana comum ao sólido e ao plano — a «superfície de corte». Num poliedro, a secção é um polígono cujos «vértices» são os pontos onde o plano corta as arestas e cujos «lados» são os segmentos onde o plano corta as faces. Num sólido de revolução, a secção é, em geral, uma curva (ver Fig. 1).

Secção de um prisma por um plano

Fig. 1Fig. 1 — Secção de um prisma: os vértices são as interseções das arestas com o plano secante.

Fig. 1 ↓

O método geral para poliedros é «cortar aresta a aresta»: para cada aresta do sólido, determina-se o ponto onde o plano secante a interseta (um problema de interseção de reta com plano); esses pontos são os vértices da secção. Unindo, pela ordem correta (a de percurso das faces), os pontos obtidos, fecha-se o polígono de secção. Cada vértice obtém-se, portanto, como interseção de uma aresta (reta) com o plano de corte.

Para «sólidos de revolução» usa-se o método análogo de «cortar geratriz a geratriz» (cilindro e cone) ou por «paralelos» (esfera e superfícies de revolução): tomam-se várias geratrizes (ou paralelos), determina-se onde o plano as corta e unem-se os pontos com uma curva suave. Quantos mais pontos, mais rigorosa a curva; escolhem-se pontos notáveis (os dos eixos, os de contorno) para garantir a forma correta.

A determinação da secção resolve-se muito mais depressa quando o «plano secante é projetante»: nesse caso, uma das projeções da secção cai imediatamente sobre o traço do plano, e só falta a outra projeção e a VG. Por isso, os exercícios de secção escolhem frequentemente planos de topo ou verticais — caso tratado em detalhe na secção seguinte, onde se obtém também a verdadeira grandeza.

Exemplo resolvido

Vértices da secção de um prisma

Um prisma quadrangular reto é cortado por um plano oblíquo. Descreve como obténs os vértices da secção.

Cortar aresta a aresta
Cada aresta lateral (uma reta vertical) é intersetada com o plano secante: obtém-se um ponto por aresta.
Pontos de secção
Nas arestas verticais, o ponto de corte lê-se onde a projeção da aresta encontra a projeção da secção (com o plano projetante, sobre o seu traço).
Fechar o polígono
Unem-se os quatro pontos pela ordem das faces (A→B→C→D) — obtém-se o quadrilátero de secção.

Resultado: A secção é o polígono cujos vértices são as interseções das arestas laterais com o plano secante.

Erros frequentes

Unir os vértices da secção por uma ordem errada (não a do percurso das faces).
Esquecer arestas ao cortar, deixando o polígono de secção incompleto.

Revisão ativa

Determina os vértices da secção de um prisma por um plano oblíquo, cortando cada aresta lateral pelo plano secante.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Secções por planos projetantes e verdadeira grandeza#

~3 min de leituraAprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

Quando o «plano secante é projetante» (de topo ou vertical), uma das projeções da secção é imediata: toda a secção se projeta sobre o traço do plano. Se o plano é de «topo», a «projeção frontal» da secção cai sobre o seu traço frontal (um segmento); se é «vertical», a «projeção horizontal» cai sobre o traço horizontal. Fica assim determinada uma das projeções da figura de secção sem esforço (ver Fig. 2).

Secção por plano de topo e VG

Fig. 2Fig. 2 — Passos da secção por plano projetante até à verdadeira grandeza.

Fig. 2 ↓

A outra projeção obtém-se por «linha de chamada»: cada vértice da secção, lido na projeção onde ela cai sobre o traço, transporta-se para a outra projeção sobre a aresta correspondente do sólido. Determinadas as duas projeções, tem-se a secção representada, mas ainda «deformada» — nenhuma projeção mostra a sua forma real, porque o plano secante é oblíquo relativamente aos planos de projeção.

A «verdadeira grandeza» da secção obtém-se por «rebatimento» do plano secante sobre um plano de projeção, em torno do seu traço (a charneira). Cada vértice da secção descreve um arco em torno da charneira, conservando a distância verdadeira (calculada com o triângulo de rebatimento a partir da cota/afastamento); unindo os vértices rebatidos obtém-se a figura de secção na sua forma e dimensões reais.

A sequência-tipo de um problema completo é, portanto: (1) identificar o plano projetante e ler a projeção imediata da secção sobre o seu traço; (2) obter a outra projeção por linhas de chamada; (3) rebater o plano secante para obter a VG da secção; (4) legendar visibilidade. É um dos exercícios mais representativos do 11.º ano, que integra interseção, projeção e rebatimento.

Exemplo resolvido

Secção de uma pirâmide por plano de topo

Uma pirâmide de base horizontal é cortada por um plano de topo. Obtém as projeções e a VG da secção.

Projeção frontal da secção
Como o plano é de topo, a projeção frontal da secção cai sobre o seu traço frontal: marcam-se aí os pontos onde o traço corta as arestas (em projeção frontal).
Projeção horizontal
Cada vértice desce por linha de chamada até à projeção horizontal da aresta correspondente, dando a projeção horizontal da secção.
VG por rebatimento
Rebate-se o plano de topo em torno do traço frontal; cada vértice roda até à VG (distância pelo triângulo de rebatimento). Une-se a figura em VG.

Resultado: Projeção frontal sobre o traço; projeção horizontal por linhas de chamada; VG por rebatimento em torno do traço.

Erros frequentes

Confundir a projeção da secção (deformada) com a sua verdadeira grandeza (só por rebatimento).
Não conservar a distância dos vértices à charneira ao rebater a secção.

Revisão ativa

Uma pirâmide é seccionada por um plano de topo. Determina as duas projeções da secção e obtém a sua VG por rebatimento.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Secções de sólidos de revolução#

~3 min de leituraAprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

As secções dos sólidos de revolução são curvas, e o «cone» é o caso mais rico: consoante a inclinação do plano secante, obtêm-se as «secções cónicas». Um plano perpendicular ao eixo dá uma «circunferência»; um plano oblíquo que corta todas as geratrizes dá uma «elipse»; um plano paralelo a uma geratriz dá uma «parábola»; um plano paralelo ao eixo (ou que corta as duas folhas) dá uma «hipérbole». A Fig. 3 sistematiza estas quatro secções.

Secções cónicas do cone

Fig. 3Fig. 3 — As secções cónicas do cone de revolução conforme o plano secante.

Fig. 3 ↓

No «cilindro», as secções são mais simples: um plano perpendicular ao eixo dá uma «circunferência» (igual à base), um plano oblíquo às geratrizes dá uma «elipse», e um plano paralelo ao eixo dá um «retângulo» (duas geratrizes e dois segmentos das bases). Na «esfera», qualquer secção plana é sempre uma «circunferência» (um «círculo máximo» se o plano passa pelo centro, menor caso contrário).

O método de determinação é o de «cortar geratriz a geratriz» ou por «paralelos»: escolhem-se geratrizes (no cone/cilindro) ou circunferências de nível (na esfera), determina-se onde o plano as corta e unem-se os pontos com uma curva. Convém incluir sempre os «pontos notáveis» — os extremos dos eixos da curva, os pontos de contorno aparente e, na parábola/hipérbole, os pontos das geratrizes de contorno — para fixar corretamente a forma.

A verdadeira grandeza da curva de secção obtém-se, como nos poliedros, por «rebatimento» do plano secante. É esse rebatimento que revela a elipse, a parábola ou a hipérbole na sua forma real e permite medir os seus eixos. As secções cónicas ligam a Geometria Descritiva à geometria das cónicas estudada noutras disciplinas, e são um conteúdo distintivo do programa do 11.º ano.

Exemplo resolvido

Identificar cónicas

Que secção se obtém ao cortar um cone de revolução por (a) um plano perpendicular ao eixo e (b) um plano paralelo a uma geratriz?

(a) Perpendicular ao eixo
O plano corta todas as geratrizes a igual distância do vértice → a secção é uma circunferência.
(b) Paralelo a uma geratriz
O plano é paralelo a uma geratriz e corta todas as outras → a secção é uma parábola (curva aberta).
Nota
Um plano oblíquo que corte todas as geratrizes daria uma elipse; um paralelo ao eixo, uma hipérbole.

Resultado: (a) circunferência; (b) parábola.

Erros frequentes

Confundir as condições que geram cada cónica (paralelo a uma geratriz → parábola; paralelo ao eixo → hipérbole).
Traçar a secção de um cilindro oblíquo como circunferência (é uma elipse).

Revisão ativa

Indica que secção se obtém ao cortar um cone de revolução por: (a) um plano perpendicular ao eixo; (b) um plano paralelo a uma geratriz.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Versão completa através do nível de profundidade — mesmo lugar, mesmas âncoras

Secções de sólidos por planos

Pontos-chave

Vértices da secção de um prisma

Pontos-chave

Secção de uma pirâmide por plano de topo

Pontos-chave

Identificar cónicas

Fontes

Secções de sólidos por planos

Pontos-chave

Vértices da secção de um prisma

Pontos-chave

Secção de uma pirâmide por plano de topo

Pontos-chave

Identificar cónicas

Fontes