EuraStudy
Resumos/Geometria Descritiva A/Representação axonométrica ortogonal (isometria, dimetria, trimetria)
PT · Secundário

Representação axonométrica ortogonal (isometria, dimetria, trimetria)

Na axonometria ortogonal, os raios projetantes são perpendiculares ao plano do quadro, oblíquo aos três eixos coordenados. Consoante os ângulos entre os eixos projetados (e os coeficientes de redução), distinguem-se a isometria (três iguais), a dimetria (dois iguais) e a trimetria (três diferentes). Estudam-se o princípio e o triângulo dos traços, a isometria e os coeficientes de redução, com a lei u²+v²+w²=2.

3 secções·~9 min de leitura·3 competências

T·141414 / 14
Perfil de exame
Distinguir isometria, dimetria e trimetria pela relação entre eixos e coeficientesRepresentar sólidos em axonometria ortogonal isométricaRelacionar os coeficientes de redução (lei u²+v²+w²=2)
Operadores:representaconstróidistinguecalculajustifica

nível básico

Representar sólidos simples em isometria (eixos a 120°).

nível avançado

Comparar isometria, dimetria e trimetria e aplicar a lei dos coeficientes de redução.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

Texto

Tamanho do texto: Padrão · Entrelinha: Compacto

Carregar sempre os media: desativado

Conteúdo · 3 secções▾
  1. Representação axonométrica ortogonal (isometria, dimetria, trimetria)
    • 01Axonometria ortogonal: princípio e classificação◐
    • 02Isometria●
    • 03Dimetria, trimetria e coeficientes de redução●

3 secções · 6 pontos-chave · 2 fórmulas · 6 erros típicos

§ 01
§ 01

Axonometria ortogonal: princípio e classificação#

~2 min de leitura●●○PadrãoAEAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-ortogonal

Pontos-chave

Na «axonometria ortogonal», os raios projetantes são «perpendiculares ao plano do quadro», e este é «oblíquo aos três eixos coordenados» (x, y, z). Ao projetar-se ortogonalmente o triedro de eixos sobre o quadro, obtém-se um «triângulo dos traços» (o triângulo fundamental), cujos lados são as interseções do quadro com os planos coordenados; os eixos projetam-se segundo as três alturas desse triângulo, e é a sua forma que fixa os ângulos entre os eixos e os coeficientes de redução (ver Fig. 1).

Eixos da axonometria isométrica

Eixos isométricosFigura geométrica, O, x, y, z, x, y, zOxyzx1x2xyz120°
Fig. 1Fig. 1 — Eixos isométricos: x e y a 30° da horizontal, z vertical; 120° entre eixos consecutivos.
Fig. 1 ↓
Como o quadro é oblíquo aos três eixos, «nenhum» eixo se projeta em verdadeira grandeza: todos sofrem redução. A classificação faz-se pela relação entre os coeficientes de redução (ou, equivalentemente, entre os ângulos dos eixos projetados): «isometria» quando os três coeficientes são iguais (triângulo fundamental equilátero, eixos a 120°); «dimetria» quando dois são iguais e um diferente; «trimetria» quando os três são diferentes.
A diferença essencial face à clinogonal é que, na ortogonal, não há qualquer face ou plano em VG — tudo é reduzido —, mas em compensação a imagem é mais «natural» e equilibrada, sem o exagero de profundidade da cavaleira pura. Por isso a axonometria ortogonal, sobretudo a isometria, é a preferida no desenho técnico e industrial e nos programas de modelação 3D.
A escolha entre isometria, dimetria e trimetria é um compromisso entre simplicidade e fidelidade. A isometria é a mais simples de traçar (eixos a 120°, um único coeficiente), mas trata as três dimensões por igual; a dimetria e a trimetria dão mais importância a certas faces (uma ou nenhuma dimensão privilegiada), à custa de uma construção mais trabalhosa. A Fig. 2 (secção seguinte) compara os ângulos e coeficientes de cada uma.
Exemplo resolvido

Classificar axonometrias ortogonais

Classifica a axonometria ortogonal em que: (a) os três coeficientes de redução são iguais; (b) dois são iguais e um diferente; (c) os três são diferentes.

  1. 01(a)

    Três coeficientes iguais ⇒ triângulo fundamental equilátero, eixos a 120° ⇒ isometria.

  2. 02(b)

    Dois coeficientes iguais e um diferente ⇒ triângulo isósceles ⇒ dimetria.

  3. 03(c)

    Três coeficientes diferentes ⇒ triângulo escaleno ⇒ trimetria.

Resultado: (a) isometria; (b) dimetria; (c) trimetria.

Foco no Exame Nacional

  • Distinguir isometria, dimetria e trimetria pela igualdade dos coeficientes de redução.
  • Compreender o triângulo dos traços e a ausência de VG na axonometria ortogonal.

Erros frequentes

  • Julgar que algum eixo aparece em VG na axonometria ortogonal (todos são reduzidos).
  • Confundir a classificação (isometria = três iguais; dimetria = dois iguais; trimetria = três diferentes).

§ 01

Revisão ativa

Explica por que, na axonometria ortogonal, nenhum eixo aparece em VG e como se distinguem isometria, dimetria e trimetria.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02
§ 02

Isometria#

~3 min de leitura●●●AprofundamentoAEAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-ortogonal

Pontos-chave

A «isometria» (do grego «igual medida») é a axonometria ortogonal em que os três eixos fazem «ângulos iguais» com o plano do quadro e, por isso, têm o «mesmo coeficiente de redução». Os eixos projetam-se a «120°» uns dos outros: na disposição habitual, o eixo z é vertical e os eixos x e y descem a «30°» da horizontal, para cada lado. É a axonometria mais usada por ser a mais simples de desenhar (ver Fig. 2).

Cubo em isometria

Cubo isométricoFigura geométrica (3D)x1x2x3
Fig. 2Fig. 2 — Cubo em isometria: os três eixos a 120°, arestas iguais nos três eixos.
Fig. 2 ↓
O «coeficiente de redução» teórico da isometria obtém-se da lei geral dos coeficientes ortogonais (secção seguinte): sendo os três iguais a «u», tem-se 3u² = 2, logo «u = √(2/3) ≈ 0,816». Isto significa que uma aresta de comprimento real 10 se projeta, em rigor, com cerca de 8,16. Na prática do desenho, porém, adota-se muitas vezes o «coeficiente 1» (isometria «simplificada»): desenha-se sem reduzir, obtendo uma figura ampliada por um fator de 1/0,816 ≈ 1,22, mas com a mesma forma.
A construção de um sólido em isometria é sistemática. (1) Traçam-se os três eixos a 120° a partir de um ponto. (2) Marcam-se as três dimensões (largura, profundidade, altura) sobre os eixos, com o coeficiente adotado (teórico ≈0,816 ou simplificado 1). (3) Completa-se o paralelepípedo envolvente e, dentro dele, o objeto. As arestas paralelas a um eixo continuam paralelas na projeção — uma propriedade muito cómoda.
Uma nota sobre círculos: uma circunferência contida numa face coordenada projeta-se, em isometria, como uma «elipse» (não como circunferência, pois nenhuma face está em VG). Estas elipses isométricas têm eixos bem definidos e traçam-se por métodos aproximados (por exemplo, o método dos quatro centros). É por isto que peças cilíndricas em isometria mostram elipses — um pormenor frequentemente pedido e fonte de erros.

Coeficiente de redução isométrico

3u2=2  ⇒  u=23≈0,8163u^{2} = 2 \;\Rightarrow\; u = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx 0{,}8163u2=2⇒u=32​​≈0,816

Na isometria os três coeficientes de redução são iguais a u; da lei geral u²+v²+w²=2 resulta u=√(2/3)≈0,816.

Exemplo resolvido

Aresta reduzida em isometria

Uma aresta de 12 cm é representada em isometria com o coeficiente de redução teórico. Qual o comprimento representado? E com o coeficiente simplificado 1?

  1. 01Coeficiente teórico

    u = √(2/3) ≈ 0,816. Comprimento representado = 0,816 × 12 ≈ 9,8 cm.

  2. 02Coeficiente simplificado

    Com u = 1, desenha-se sem reduzir: 12 cm (figura ampliada por 1/0,816 ≈ 1,22, mesma forma).

  3. 03Nota

    A forma é a mesma nos dois casos; muda apenas a escala global da figura.

Resultado: ≈9,8 cm com o coeficiente teórico (0,816); 12 cm com o coeficiente simplificado 1.

Foco no Exame Nacional

  • Construir um sólido em isometria (eixos a 120°; coeficiente teórico ≈0,816 ou simplificado 1).
  • Reconhecer que uma circunferência numa face projeta-se como elipse em isometria.

Erros frequentes

  • Desenhar os eixos isométricos com ângulos diferentes de 120° (x e y devem estar a 30° da horizontal).
  • Representar uma circunferência de uma face como circunferência em vez de elipse.

§ 02

Revisão ativa

Representa um cubo de 4 cm de aresta em isometria com coeficiente simplificado 1 e indica a forma da projeção de uma circunferência inscrita numa face.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03
§ 03

Dimetria, trimetria e coeficientes de redução#

~3 min de leitura●●●AprofundamentoAEAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-ortogonal

Pontos-chave

A «dimetria» é a axonometria ortogonal em que «dois» dos três coeficientes de redução são iguais e o terceiro é diferente: privilegia-se uma dimensão (normalmente a profundidade, mais reduzida) e tratam-se as outras duas por igual. É um bom compromisso entre a simplicidade da isometria e a naturalidade de uma vista mais realista, muito usada em desenho industrial. A «trimetria» tem os «três» coeficientes diferentes — a mais geral e a mais flexível, mas também a mais trabalhosa (ver Fig. 3).

Isometria, dimetria e trimetria

Axonometria ortogonalTabela com 4 colunas e 3 linhas, Dados: Tipo · Coeficientes · Eixos · Valores típicos; Isometria · Três iguais (u=v=w) · 120°/120°/120° · ≈0,82 : 0,82 : 0,82; Dimetria · Dois iguais · dois ângulos iguais · ≈0,94 : 0,94 : 0,47; Trimetria · Três diferentes · três ângulos diferentes · u, v, w distintos, célula destacada: ≈0,82 : 0,82 : 0,82TipoCoeficientesEixosValores típicosIsometriaTrês iguais (u = v = w)120°/120°/120°≈0,82 : 0,82 : 0,82DimetriaDois iguaisdois ângulos iguais≈0,94 : 0,94 : 0,47TrimetriaTrês diferentestrês ângulos diferentesu, v, w distintos
Fig. 3Fig. 3 — Isometria, dimetria e trimetria: coeficientes e ângulos típicos (u²+v²+w²=2).
Fig. 3 ↓
Todos estes coeficientes obedecem a uma lei notável, a «lei dos coeficientes de redução» da axonometria ortogonal: sendo u, v, w os coeficientes de redução dos três eixos, verifica-se sempre «u² + v² + w² = 2». Esta relação é a assinatura da projeção ortogonal (nas oblíquas não vale) e permite determinar um coeficiente conhecidos os outros dois, ou verificar a coerência de um conjunto de coeficientes proposto.
Da lei tiram-se de imediato os casos particulares. Na «isometria» (u = v = w), 3u² = 2 dá u = √(2/3) ≈ 0,816. Numa «dimetria» comum, adotam-se, por conveniência de desenho, coeficientes «aproximados» como 1 : 1 : 1/2 (dois eixos quase verdadeiros e um a meio), ajustados à lei; os valores exatos que a satisfazem para dois iguais são da ordem de 0,94 : 0,94 : 0,47. Na «trimetria», escolhem-se três coeficientes distintos que verifiquem u² + v² + w² = 2.
Na prática do 11.º ano, o essencial é: (1) saber classificar (iso/di/trimetria) pela igualdade dos coeficientes; (2) conhecer a lei u² + v² + w² = 2 e usá-la para calcular ou verificar; (3) reconhecer que a isometria é o caso simétrico e mais simples. A Fig. 3 resume os ângulos e coeficientes típicos de cada tipo — um quadro de referência para escolher a axonometria adequada a cada representação.

Lei dos coeficientes de redução (axonometria ortogonal)

u2+v2+w2=2u^{2} + v^{2} + w^{2} = 2u2+v2+w2=2

A soma dos quadrados dos três coeficientes de redução é sempre 2 na axonometria ortogonal; permite determinar um coeficiente conhecidos os outros.

Exemplo resolvido

Terceiro coeficiente pela lei

Numa axonometria ortogonal, dois coeficientes de redução valem 0,94. Determina o terceiro e classifica a axonometria.

  1. 01Lei dos coeficientes

    u² + v² + w² = 2, com u = v = 0,94: 0,94² + 0,94² + w² = 2.

  2. 02Cálculo

    2 × 0,8836 + w² = 2 ⇔ 1,7672 + w² = 2 ⇔ w² = 0,2328 ⇔ w ≈ 0,48.

  3. 03Classificação

    Dois coeficientes iguais (0,94) e um diferente (≈0,48) ⇒ dimetria.

Resultado: O terceiro coeficiente é ≈0,48; a axonometria é uma dimetria (≈0,94 : 0,94 : 0,48).

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a lei u²+v²+w²=2 para calcular ou verificar coeficientes de redução.
  • Classificar e distinguir dimetria e trimetria dos coeficientes/ângulos.

Erros frequentes

  • Aplicar a lei u²+v²+w²=2 às axonometrias oblíquas (só vale na ortogonal).
  • Confundir dimetria (dois coeficientes iguais) com trimetria (três diferentes).

§ 03

Revisão ativa

Numa axonometria ortogonal, dois coeficientes de redução são iguais a 0,94. Usa a lei u²+v²+w²=2 para determinar o terceiro e classifica a axonometria.

Praticar com exercícios relacionados10 perguntas sobre este tema→

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Versão completa através do nível de profundidade — mesmo lugar, mesmas âncoras

Conteúdo

Secção -- / 03

    • 01Axonometria ortogonal: princípio e classificação◐
    • 02Isometria●
    • 03Dimetria, trimetria e coeficientes de redução●

0/3 Lidos

Dos resumos à prática

Representação axonométrica ortogonal (isometria, dimetria, trimetria)

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

~9
min
3
Competências
10
perguntas
Praticar
Planear uma revisão

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

Tópico anterior

Representação axonométrica clinogonal (cavaleira e planométrica)

EuraStudy·Resumos T·14·MMXXVI

Último tópico desta disciplina: volta à vista geral da disciplina.